矩阵论之线性空间和内积空间

预备知识:集合, 映射, 数域

集合

• 定义
  • 集合: 由具有某种性质所确定的事物的总体.
• 表示法
  • 列举法
  • 概括法
• 其他概念
  • 子集
  • 包含关系
  • 集合相等
  • 有限集
  • 无限集
  • 空集
• 集合运算
  • 并集 $$A \cup B = \{x\mid x \in A \text { 或 } x\in B\} \tag{1}$$
  • 交集 $$A \cap B = \{ x \mid x \in A \text { 且 } x \in B \} \tag{2}$$
  • 二元关系
    • 集合的 Descartes 积
    • $A \times B$ 的子集 R 是$A \times B$中的一个二元关系
    • 等价关系
    • 等价类
    • 商集
    • 分类

映射

映射是函数概念的推广, 描述了两个集合的元素之间的关系

• 基本概念

  • 映射
  • 像
  • 原像
  • 定义域
  • 值域
  • 符号 $$f : A \to B \tag{3}$$
  • 恒等映射/单位映射
  • 单映射
  • 满映射
  • 双映射
  • 映射相等
  • 映射的乘积
    • 设 $A, B, C$ 是三个非空集合,并设有两个映射 $f_1: A \to B$ , $f_2: B \to C$ , 由$f_1 \text{ 和 } f_2 $ 确定的 $A$ 到 $C$ 的映射 $f_3: a \to f_2(f_1(a)), a \in A$ 成为映射$f_1 \text{ 和 } f_2 $ 的乘积, 记为 $f_3 = f_2 \cdot f_1$
    • 映射的乘积不具有交换律, 具有结合律

  • 逆映射 $f^{-1}$

    • 可逆映射的逆映射唯一
    • 可逆映射的充要条件是一一映射

    数域和代数运算

  • 定义

    • 设 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 是复数域 ${\displaystyle \mathbb {C} } $ 的子集。若 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中包含0与1，并且 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中，就称 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 为一个数域

  • 代数运算

  • 二元运算

矩阵运算

线性方程组

向量组的极大线性无关组和秩

矩阵的秩及等价标准形