数学备忘录

Introduction

本文章主要用来备忘,内容有:

  • 基本数学符号、算子
  • 基本数学规则

Nabla算子

Del 算子或称 Nabla 算子,在中文中也叫向量微分算子、劈形算子、倒三角算子,符号为 $\nabla$ ,是一个向量微分算子,但本身并非一个向量。

其形式化定义如下:

在n维空间中,分母 dr 为含 n 个分量的向量,因而 $\nabla$ 本身就是个n维向量算子。

三维情况下:

或:

二维情况下,

$\nabla$ 作用于不同类型的量,得到的就是不同类型的新量:

$\nabla$ 直接作用于函数$F({r})$的梯度,表示为: $\nabla F({r})$(标量函数的梯度为向量,向量的梯度为二阶张量……);

$\nabla$ 与非标量函数$F({r})$由点积符号$·$连接,意味着求$F({r})$的散度,表示为: $\nabla · F({r})$;

$\nabla$ 与非标量(三维)函数$F({r})$由叉积符号$×$连接,意味着求$F({r})$的旋度,表示为: $\nabla × F({r})$。

范数

向量范数

  • 1-范数:即向量元素绝对值之和
  • 2-范数:Euclid范数(欧几里得范数,常用计算向量长度),即向量元素绝对值的平方和再开方
  • $\infty$-范数:即所有向量元素绝对值中的最大值
  • $- \infty$-范数:即所有向量元素绝对值中的最小值
  • p-范数:即向量元素绝对值的p次方和的$1/p$次幂

矩阵范数

  • 1-范数:列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值

  • 2-范数:

  • 谱范数,即A’A矩阵的最大特征值的开平方。

  • $\infty$-范数:,行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值
  • F-范数:, Frobenius范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方
  • 核范数: 是A的奇异值。即奇异值之和。

更多理解见文章:几种范数的简单介绍

L1范数有很多的名字,例如我们熟悉的曼哈顿距离、最小绝对误差等。

感谢搬砖