预备知识:集合, 映射, 数域
集合
- 定义
- 表示法
- 列举法
- 概括法
- 其他概念
- 子集
- 包含关系
- 集合相等
- 有限集
- 无限集
- 空集
- 集合运算
- 并集
- 交集
- 二元关系
- 集合的 Descartes 积
- $A \times B$ 的子集 R 是$A \times B$中的一个二元关系
- 等价关系
- 等价类
- 商集
- 分类
映射
映射是函数概念的推广, 描述了两个集合的元素之间的关系
基本概念
- 映射
- 像
- 原像
- 定义域
- 值域
- 符号
- 恒等映射/单位映射
- 单映射
- 满映射
- 双映射
- 映射相等
- 映射的乘积
- 设 $A, B, C$ 是三个非空集合,并设有两个映射 $f_1: A \to B$ , $f_2: B \to C$ , 由$f_1 \text{ 和 } f_2 $ 确定的 $A$ 到 $C$ 的映射 $f_3: a \to f_2(f_1(a)), a \in A$ 成为映射$f_1 \text{ 和 } f_2 $ 的乘积, 记为 $f_3 = f_2 \cdot f_1$
- 映射的乘积不具有交换律, 具有结合律
逆映射 $f^{-1}$
- 可逆映射的逆映射唯一
- 可逆映射的充要条件是一一映射
数域和代数运算
定义
- 设 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 是复数域 ${\displaystyle \mathbb {C} } $ 的子集。若 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中包含0与1，并且 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中，就称 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 为一个数域
代数运算
- 二元运算
