矩阵论之线性空间和内积空间

预备知识:集合, 映射, 数域

集合

  • 定义
    • 集合: 由具有某种性质所确定的事物的总体.
  • 表示法
    • 列举法
    • 概括法
  • 其他概念
    • 子集
    • 包含关系
    • 集合相等
    • 有限集
    • 无限集
    • 空集
  • 集合运算
    • 并集 \[ A \cup B = \{x\mid x \in A \text { 或 } x\in B\} \tag{1} \]
    • 交集 \[ A \cap B = \{ x \mid x \in A \text { 且 } x \in B \} \tag{2} \]
    • 二元关系
      • 集合的 Descartes 积
      • \(A \times B\) 的子集 R 是\(A \times B\)中的一个二元关系
      • 等价关系
      • 等价类
      • 商集
      • 分类

映射

映射是函数概念的推广, 描述了两个集合的元素之间的关系

  • 基本概念
    • 映射
    • 原像
    • 定义域
    • 值域
    • 符号 \[ f : A \to B \tag{3}\]
    • 恒等映射/单位映射
    • 单映射
    • 满映射
    • 双映射
    • 映射相等
    • 映射的乘积
      • \(A, B, C\) 是三个非空集合,并设有两个映射 \(f_1: A \to B\) , \(f_2: B \to C\) , 由$f_1 f_2 $ 确定的 \(A\)\(C\) 的映射 \(f_3: a \to f_2(f_1(a)), a \in A\) 成为映射$f_1 f_2 $ 的乘积, 记为 \(f_3 = f_2 \cdot f_1\)
      • 映射的乘积不具有交换律, 具有结合律
    • 逆映射 \(f^{-1}\)
      • 可逆映射的逆映射唯一
      • 可逆映射的充要条件是一一映射
    ### 数域和代数运算
    • 定义
      • \({\displaystyle {\mathcal {P}}}\) 是复数域 ${ } $ 的子集。若 \({\displaystyle {\mathcal {P}}}\) 中包含0与1,并且 \({\displaystyle {\mathcal {P}}}\) 中任两个数的和、差、乘积以及商(约定除数不为0)都仍在 \({\displaystyle {\mathcal {P}}}\) 中,就称 \({\displaystyle {\mathcal {P}}}\) 为一个数域
    • 代数运算
    • 二元运算

矩阵运算

线性方程组

向量组的极大线性无关组和秩

矩阵的秩及等价标准形

向我开炮