预备知识:集合, 映射, 数域
集合
- 定义
- 表示法
- 列举法
- 概括法
- 其他概念
- 子集
- 包含关系
- 集合相等
- 有限集
- 无限集
- 空集
- 集合运算
- 并集 \[ A \cup B = \{x\mid x \in A \text { 或 } x\in B\} \tag{1} \]
- 交集 \[ A \cap B = \{ x \mid x \in A \text { 且 } x \in B \} \tag{2} \]
- 二元关系
- 集合的 Descartes 积
- \(A \times B\) 的子集 R 是\(A \times B\)中的一个二元关系
- 等价关系
- 等价类
- 商集
- 分类
映射
映射是函数概念的推广, 描述了两个集合的元素之间的关系
- 基本概念
- 映射
- 像
- 原像
- 定义域
- 值域
- 符号 \[ f : A \to B \tag{3}\]
- 恒等映射/单位映射
- 单映射
- 满映射
- 双映射
- 映射相等
- 映射的乘积
- 设 \(A, B, C\) 是三个非空集合,并设有两个映射 \(f_1: A \to B\) , \(f_2: B \to C\) , 由$f_1 f_2 $ 确定的 \(A\) 到 \(C\) 的映射 \(f_3: a \to f_2(f_1(a)), a \in A\) 成为映射$f_1 f_2 $ 的乘积, 记为 \(f_3 = f_2 \cdot f_1\)
- 映射的乘积不具有交换律, 具有结合律
- 逆映射 \(f^{-1}\)
- 可逆映射的逆映射唯一
- 可逆映射的充要条件是一一映射
- 定义
- 设 \({\displaystyle {\mathcal {P}}}\) 是复数域 ${ } $ 的子集。若 \({\displaystyle {\mathcal {P}}}\) 中包含0与1，并且 \({\displaystyle {\mathcal {P}}}\) 中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在 \({\displaystyle {\mathcal {P}}}\) 中，就称 \({\displaystyle {\mathcal {P}}}\) 为一个数域
- 代数运算
- 二元运算
