矩阵论之线性空间和内积空间

预备知识:集合, 映射, 数域

集合

  • 定义
    • 集合: 由具有某种性质所确定的事物的总体.
  • 表示法
    • 列举法
    • 概括法
  • 其他概念
    • 子集
    • 包含关系
    • 集合相等
    • 有限集
    • 无限集
    • 空集
  • 集合运算
    • 并集
    • 交集
    • 二元关系
      • 集合的 Descartes 积
      • $A \times B$ 的子集 R 是$A \times B$中的一个二元关系
      • 等价关系
      • 等价类
      • 商集
      • 分类

映射

映射是函数概念的推广, 描述了两个集合的元素之间的关系

  • 基本概念

    • 映射
    • 原像
    • 定义域
    • 值域
    • 符号
    • 恒等映射/单位映射
    • 单映射
    • 满映射
    • 双映射
    • 映射相等
    • 映射的乘积
      • 设 $A, B, C$ 是三个非空集合,并设有两个映射 $f_1: A \to B$ , $f_2: B \to C$ , 由$f_1 \text{ 和 } f_2 $ 确定的 $A$ 到 $C$ 的映射 $f_3: a \to f_2(f_1(a)), a \in A$ 成为映射$f_1 \text{ 和 } f_2 $ 的乘积, 记为 $f_3 = f_2 \cdot f_1$
      • 映射的乘积不具有交换律, 具有结合律
    • 逆映射 $f^{-1}$

      • 可逆映射的逆映射唯一
      • 可逆映射的充要条件是一一映射

      数域和代数运算

    • 定义

      • 设 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 是复数域 ${\displaystyle \mathbb {C} } $ 的子集。若 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中包含0与1,并且 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中任两个数的和、差、乘积以及商(约定除数不为0)都仍在 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中,就称 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 为一个数域
    • 代数运算

    • 二元运算

矩阵运算

线性方程组

向量组的极大线性无关组和秩

矩阵的秩及等价标准形

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